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Sistemas de ecuaciones
Cuando en una situación aparecen varias incógnitas, al traducirlo a lenguaje matemático podemos resolverlo de varias formas
Para la imagen, línea f = 28, línea g = 26, línea h = 34,
¿Cuánto mide cada radio?
Resolverlo requiere interpretar la imagen y usar nombres
conocidos a las variables
Del circulo azul, llamaremos su
radio x
Del circulo morado llamaremos su
radio y
Y del círculo rojo llamaremos su
radio z
Ahora matematizamos las relaciones que vemos en el dibujo.
1) Radio rojo
más radio azul es la línea h z
+ x = h z + x = 34
2) Radio
rojo más radio morado es la línea f z
+ y = f z + y = 28
3) Radio
morado más radio azul es la línea g y
+ x = g y + x = 26
Ya tenemos 3 ecuaciones con tres incógnitas
Solución por despeje
1) -2) restamos las
dos expresiones
z
|
+
|
x
|
=
|
34
|
z
|
+
|
x
|
=
|
34
|
||||
-
|
z
|
+
|
y
|
=
|
28
|
-z
|
-
|
y
|
=
|
-28
|
|||
6
|
x-y
|
=
|
6
|
3) + la nueva
x
|
+
|
y
|
=
|
26
|
|
x
|
-
|
y
|
=
|
6
|
|
2x
|
=
|
32
|
|||
x
|
=
|
32
|
/2
|
||
x
|
=
|
16
|
De la ecuación 3) sabiendo que x = 16 hallamos y, luego
sabiendo y, de la ecuación 2) hallamos z
x
|
+
|
y
|
=
|
26
|
z
|
+
|
y
|
=
|
28
|
||
16
|
+
|
y
|
=
|
26
|
z
|
+
|
10
|
=
|
28
|
||
Y
|
=
|
10
|
z
|
=
|
18
|
Solución por igualación
Partimos de las 3 ecuaciones que hallamos de las relaciones
1) z + x =
34
2) z + y =
28
3) y + x =
26
Despejamos z de la primera z
= 34 – x
Reemplazamos z en la segunda (z) + y = 28 (34 – x) + y = 28 y
= 28 – 34 + x y = x -6
Reemplazamos y en la tercera (y)
+ x = 26 (x
-6) + x = 26 2x = 26 + 6 x=32/2 x =
16
Y proseguimos como lo hicimos en la anterior
Solución por determinante
También partimos de las 3 ecuaciones que hallamos de las
relaciones
1) z + x =
34
2) z + y =
28
3) y + x =
26
Las
ordenamos y las escribimos para matriz
x
|
y
|
z
|
||||
x
|
+
|
0y
|
+
|
z
|
=
|
34
|
0x
|
+
|
y
|
+
|
z
|
=
|
26
|
x
|
+
|
y
|
+
|
0z
|
=
|
28
|
Aplicamos solución de matrices (que cualquier estudiante de
9° de la ie La Ceiba hace a la perfección)
Y tenemos
las mismas respuestas.
Como ustedes
saben, la solución por matrices facilita la solución cuando son sistemas de
ecuaciones cómo:
Sobre
todo cuando disponemos de un programa propio creado en Excel ;)Ejercicios
1)
5 vacas valen 10.5 millones ¿Cuánto vale una vaca?
2)
Soluciona ¿Cuánto vale x & y? si 4x – 1y = 2 & 3x +
5y = -10
3)
Solucionar (demasiado
fácil para ustedes) ¿cuánto vale una libra de arroz x, una libra de carne y,
una libra de arroz z?
5 libras de papa +
2 libras de carne + 1 libra de arroz; Valen $23500
3 libras de papa +
1 libra de carne + 4 libras de arroz; Valen $17400
2 libras de
papa + 3 libras de carne + 2 libra de arroz; Valen $31600
Para no
enredarlos con los cálculos trabajen sin los ceros en rojo,
4)
Solucionar ¿Qué edad tienen Xavier, Yahir & Zuly?
5 veces la edad de Xavier + 2 veces la edad de Yahir +
1 vez la edad de Zuly suma 106 años
3 veces la edad de Xavier + 1 vez la edad de Yahir + 4
veces la edad de Zuly suma 115 años
2 veces la edad de Xavier + 3 veces la edad de Yahir +
2 veces la edad de Zuly suma 101 años
5)
Solucionar ¿Cuántos millones gana Xavier, Yahir
& Zuly?
5 sueldos de
Xavier + 2 sueldos de Yahir + 1 sueldo de Zuly suman 21 millones
3 sueldos de
Xavier + 1 sueldo de Yahir + 4 sueldos de Zuly suman 29 millones
2 sueldos de Xavier
+ 3 sueldos de Yahir + 2 sueldos de Zuly suma 23 millones
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