10° parábola & elipse

Otra más a partir de la ecuación

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Funciones cuadráticas

Ya habíamos hablado de y=mx +b, que lo conocemos como línea recta, y conocemos su forma y como dibujarla en el eje cartesiano (x,y) la siguiente figura nos muestra la forma de una cuadrática y = ax² + bx + c, y antes de hacer cálculos y ejercicios vamos a reconocerla gráficamente

Esa es la forma clásica de una cuadrática, llamada también parábola, vamos a ubicar ciertos puntos necesarios de la parábola

Ecuación paramétrica La ecuación paramétrica tiene la forma (x-h)² = 4p (y-k), reconocemos –h que acompaña a x, & reconocemos a –k que acompaña a y, recordamos que (h,k) era el centro del círculo, ahora es la ubicación del vértice.

La figura pertenece a la ecuación (x-2)² = 4*2 (y-1), comparándola con (x-h)² = 4p (y-k)

(x-2)² = 4*2 (y-1)

(x-h)² = 4p (y-k)                h = 2      k = 1      p = 2

El foco se encuentra en el eje de simetría a una distancia p y desde el foco la parábola pasa por la izquierda y por la derecha a una distancia 2p, hay cuatro formas características de la parábola

Ecuaciones paramétricas

(y-2)² = -4*1(x-1)            (y-2)² = 4*1(x-1)           (x-2)² = - 4*1 (y-1)        (x-2)² = 4*2 (y-1)

Noten que la azul abre hacia la izquierda, la verde abre hacia la derecha, la morada abre hacia abajo y la roja abre hacia arriba; La más conocida es la roja que tiene forma y = x².

Ecuación general

Para reconocer si una ecuación pertenece a una parábola o no, revisamos que lleve término x & y, con alguno de ellos al cuadrado.

y² + 8x – 4y + 12 = 0

y² – 4y = - 8x – 12             1) dejamos la letra que tenga el cuadrado a la derecha (la y en este caso)

y² – 4y + 4 = - 8x – 12 + 4    2) completamos para trinomio cuadrado perfecto (-4/2 y ^2) + 4

(y – 2) ² = -8x -8                3) factorizamos el lado derecho, y del izquierdo lo convertimos a 4p(x-h)

(y – 2) ² = -8 (x + 1)          4) recuerden que factorizaron -8 (-); falta, -8 = 4p

(y – 2) ² = -4*2 (x + 1)     => p=2  h = -1    k=2        5) y tiene la forma de la canónica azul v(-1,2).

Si en el paso 5) lo que se factoriza no es múltiplo de 4 por ejemplo 6 = 4p, en la ecuación dividimos por 4 y multiplicamos por 4

(y – 2) ² = 6 (x + 1)

(y – 2) ² = 6/4*4 (x + 1)   el *4 es para la formula, y el resto (6/4) es lo que vale p, que en este caso se factoriza y queda (3/2)                     (y – 2) ² = 3/2 * 4 (x - - 1)

Ejercicios parábola

Gráfica para puntos 1) & 2)

1) Cuál es la ecuación para la gráfica                               2) intercepto(s) con x

a)       (x-4)² = 8 (y-1)                                                          a)    1

b)      (x+4)²= 8 (y+1)                                                          b)   -7, -1

c)       (x-4)²= 8 (y+1)                                                           c)   -7, -1, 1

d)      (x+4)²= 8 (y-1)                                                           d)   -1, 1

La elipse

El dibujo es construido con 2 chinches, una pita y un lápiz, la definición dice: Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a otros dos puntos llamados focos es constante.

O sea, la pita va desde el chinche izquierdo hasta el lápiz y luego al chinche derecho, que forman un triángulo, ese triángulo al mover el lápiz cambia el tamaño de los lados, pero la pita sigue igual de larga

Vamos a conocer algunas partes de la elipse con las que trabajaremos.

La elipse verde que se muestra en la imagen, tiene dos ejes que la cruzan, la roja vertical, es paralela a y, la azul horizontal es paralela a x, y el centro está en (h,k) = (2,3).

De gran importancia reconocer

a (distancia del centro al vértice horizontal)

b (distancia del centro al vértice vertical)

la ecuación paramétrica es:

       (x-h)² + (y-k)² = 1                     (x-2)² + (y-3)²    = 1

        a²             b²                               3²          2²

(x+2)² + (y-3)²   = 1

  25        16

La ecuación se parece, pero los divisores no están al cuadrado y falta un menos de formula

(x - - 2)² + (y-3)² = 1

   5²            4²

Centro ( -2, 3)

a = 5, b = 4

 

 

Focos

Recuerdan los focos de la elipse (donde van los chinches de la primera elipse), la distancia del centro a los focos  (distancia focal) es si es una elipse horizontal o si es una elipse vertical

(x - 4)² + (y - 5)² = 1

   4²           5²                     para esta elipse, b > a, entonces es vertical

                                       , la distancia a los focos es 3

Reconocen el centro (4,5) y; a = 4, b = 5

Ejercicios

5)  Determina falso (F) o verdadero (V) y explica así sea con un dibujo

a)       Una circunferencia se puede determinar conociendo solo centro y radio (           )

b)      Para determinar una ecuación de línea recta solo necesitamos un punto (           )

c)       Una circunferencia se puede determinar con solo 3 puntos (      )

d)      Se puede hallar el mínimo valor de una parábola que abre hacia arriba (               )

e)      Si a = b la elipse es una circunferencia (                )

f)        Cualquier elipse cruza siempre con algún eje cartesiano x, y (                     )

6)  Determina la ecuación dado el foco y el vértice de las parábolas

a)       foco (4,0) & vértice (6,0)

b)      foco (-3,2) & vértice (-5,2)

c)       foco (3,4) & vértice (3,5)

d)      foco (-2,-1) & vértice (-2,-4)

7)            Relaciona la ecuación con el vértice que le corresponde

(x + 4)² = 3 (y – 1)                                                                           (-9/8, -3/4)

(y - 2)² = 4(x – 2)                                                                             (1, -1)

(x – 1)² = y + 2                                                                                  (2, 2)

(x + 4)² = 4 – y                                                                                  (1, -2)

Y² + 2y + 5x – 4 = 0                                                                         (-4, 1)

2y2 + 3y – x = 0                                                                                (-4, 4)

8) Dibuja aproximadamente el área encerrada entre la parábola y = x² con la recta y = x + 2

9) Halla la ecuación paramétrica de las siguientes elipses